Лемма

2.3.3 Лемма

Для того, чтобы два элемента  и  были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы существовал класс, содержащий оба этих элемента.

Все подготовлено к тому, чтобы сформулировать и доказать основную классификационную теорему.

Теорема. Пусть  – произвольное пространство толерантности, а  – множество всех его классов толерантности. Тогда существует отображение  такое, что элементы из  толерантны в том и только в том случае, когда толерантны их образы в .

Доказательство. Выберем в качестве  отображение, которое каждому элементу  сопоставляет множество , состоящее из всех содержащих его классов. По следствию из леммы 2.3.2 . По лемме 2.3.3 отношение  выполнено в том и только в том случае, когда , т.е.  и  содержат общий класс.

Если  – конечно, то количество всех его подмножеств конечно и поэтому конечно пространство . Поэтому вместо отображения  можно взять отображение , где  – число классов толерантности в , которое каждому элементу  сопоставляет множество номеров, содержащих его классов:  (здесь ).

Толерантность элементов  и  означает, что среди номеров, сопоставленных элементам  и  согласно , есть хотя бы один общий. Т.е.  и  имеют общий числовой признак. Рассмотрим всюду определенное соответствие , которое каждому  сопоставляет все классы, в которые он входит. Из леммы 2.3.3 следует, что  равносильно тому, что у  и y  имеется общий образ в .

(Л. Кальмар – С. Якубович) Теорема. Произвольное отношение толерантности  на множестве  можно задать как отношение  с помощью некоторого всюду определенного соответствия .

2.4 Классы толерантности в некоторых конкретных пространствах толерантности

Рассмотрим пространство . Это пространство толерантности состоит из множеств номеров вида , где все , причем элементы  и  толерантны, если они содержат общий номер.

Обозначим через  множество всех элементов, содержащих номер . Например, при  и ,  состоит из элементов . Ясно, что если  и , то они заведомо имеют общий номер , и поэтому . Значит,  есть предкласс. Пусть теперь  – произвольный элемент, не входящий в , а  – тот элемент из , который имеет единственный номер . Ясно, что  не выполнено, поскольку  не содержит номера , а  содержит только этот номер. Значит, предкласс  нельзя расширить и поэтому справедлива следующая лемма.

Похожие работы

Проблемы толерантности в современном обществе

Скачать

102605

4

0

... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе   2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...

Кибернетика

Скачать

107976

3

5

... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6.   в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7.         в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...

Современные разработки в психологии

Скачать

611708

8

6

... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...

Объекты нечисловой природы

Скачать

33860

0

1

... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...