Формальные свойства эквивалентности
Теорема
Теорема
Теорема
Лемма
Лемма
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пример
Операции над толерантностями
Определение
Лемма
Лемма
Лемма
Определение
Определение
Дальнейшее исследование структуры толерантностей
Теорема
Теорема
Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6)
Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека
Навигация
Формальные свойства эквивалентности
Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства
66989
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.2 Формальные свойства эквивалентности
Мы определили выше отношении эквивалентности с помощью разбиений, т.е. фактически задали их некоторой конструкцией. Можно было бы и по-другому определить эквивалентности: можно сформулировать свойства (аксиомы), которые выделяют отношения эквивалентности среди прочих бинарных отношений.
1.2.1 Определение
Отношение 
на множестве 
называется, эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Мы сейчас дали два независимых определения одного и того же понятия. Теперь нам следует убедиться, что оба определения эквивалентпости равносильны.
Теорема. Если отношение на множестве рефлексивно, симметрично и транзитивно, то существует разбиение 
множества такое, что соотношение 
выполнено в тех и только тех случаях, когда 
и 
принадлежат общему классу разбиения.
Обратно: если задано разбиение множества и бинарное отношение определено как "принадлежать общему классу разбиения", то рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство первой части. Рассмотрим рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на . Пусть для любого 
множество 
состоит из всех таких элементов 
, для которых 
.
Лемма. Для любых и либо 
, либо 
.
Доказательство леммы. Пусть пересечение 
. Покажем, что . Пусть 
, тогда выполнено и 
по самому определению множеств и 
. По симметричности имеем 
, а по транзитивности из и следует . Возьмем теперь произвольный элемент 
. По определению 
. Но из и следует 
, т.е. 
. Итак, 
.
Аналогично показывается, что 
. Значит . Лемма доказана.
Из леммы и рефлексивности отношения следует, что множества вида образуют разбиение множества 
. Пусть теперь выполнено соотношение . Это значит, что 
. Но и 
, в силу 
. Следовательно, оба элемента и входят в . Итак, если , то и входят в общий класс разбиения. Наоборот, пусть 
и 
. Покажем, что 
выполнено. Действительно, имеем 
и 
. Отсюда по симметричности 
. По транзитивности из и следует . Первая часть теоремы доказана.
Доказательство второй части. Пусть дано разбиение множества . Так как объединение всех классов разбиения совпадает с , то всякий входит в некоторый класс 
. Отсюда следует , т.е. отношение рефлексивно. Если и входят в класс , то и входят в тот же класс. Это означает, что из вытекает 
, т.е. отношение симметрично. Пусть теперь выполнено и 
. Это означает, что и входят в класс , а и – в класс 
. Поскольку и , имеют общий элемент , 
. Значит, и входят в , т.е. выполнено . Итак, отношение транзнтивно, чем и завершается доказательство теоремы.
Похожие работы
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев